Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x-1．
（I）當(dāng)x≠1時，證明：f（x）＜g（x）
（II）證明不等式：ln2+$\frac{ln3}{2}$+…+$\frac{ln（n+1）}{n}$＜n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)$\frac{lnx}{x-1}$＜1，分別令x=2，3，4，…，n，累加即可．

解答 證明：（I）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≠1時，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，lnx-x+1＜0，lnx＜x-1，即f（x）＜g（x）；
（II）由（I）可知，當(dāng)x＞1時，$\frac{lnx}{x-1}$＜1，
分別令x=2，3，4，…，n，
可得$\frac{ln2}{1}$＜1，$\frac{ln3}{2}$＜1，…，$\frac{ln（n+1）}{n}$＜1，
將這n個不等式相加，得ln2+$\frac{ln3}{2}$+…+$\frac{ln（n+1）}{n}$＜n．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．