(文)已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an,an+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的兩根,且a1=1.
(1)求數(shù)列和{bn}的通項公式;
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,問是否存在常數(shù)λ,使得bn-λSn>0對任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范圍; 若不存在,請說明理由.
【答案】
分析:(1)由題意,可利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a
n+a
n+1=2
n,法一:觀察發(fā)現(xiàn)

,由此方程可以得出數(shù)列

是首項為

,公比為-1的等比數(shù)列,由此數(shù)列的性質(zhì)求出它的通項,再求出a
n,
法二:a
n+a
n+1=2
n,兩邊同除以(-1)
n+1,得

,令

,則c
n+1-c
n=-(-2)
n.得到新數(shù)列的遞推公式,再由累加法求出c
n,即可求出a
n,
(2)由(1)的結(jié)論,先求出數(shù)列{a
n}的前n項和,代入b
n-λS
n>0,此不等式對任意n∈N
*都成立,可用分離常數(shù)法的技巧,將不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183920618805253/SYS201310241839206188052024_DA/5.png">對任意正偶數(shù)n都成立,求出

的最小值即可得到參數(shù)的取值范圍,若此范圍是空集則說明不存在,否則,存在
解答:解:(1)∵a
n,a
n+1是關(guān)于x的方程x
2-2
nx+b
n=0(n∈N
*)的兩根,
∴

求數(shù)列{a
n}的通項公式,給出如下二種解法:
解法1:由a
n+a
n+1=2
n,得

,
故數(shù)列

是首項為

,公比為-1的等比數(shù)列.
∴

,即

.
解法2:由a
n+a
n+1=2
n,兩邊同除以(-1)
n+1,得

,
令

,則c
n+1-c
n=-(-2)
n.
故c
n=c
1+(c
2-c
1)+(c
3-c
2)+…+(c
n-c
n-1)=-1-(-2)-(-2)
2-(-2)
3-…-(-2)
n-1=

=

(n≥2).
且

也適合上式,∴

=

,即

.
∴b
n=a
na
n+1=

×

=

(2)S
n=a
1+a
2+a
3+…+a
n=

=

.
要使b
n-λS
n>0對任意n∈N
*都成立,
即


(*)對任意n∈N
*都成立.
1當(dāng)n2為正奇數(shù)時,由(*)式得

3

4,
即


,
∵2
n+1-1>0,∴

對任意正奇數(shù)n都成立.
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時,

有最小值1.
∴λ<1.
②當(dāng)n為正偶數(shù)時,由(*)式得


,
即


,
∵2
n-1>0,∴

對任意正偶數(shù)n都成立.
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時,

有最小值

.
∴λ<

.
綜上所述,存在常數(shù)λ,使得b
n-λS
n>0對任意n∈N
*都成立,λ的取值范圍是(-∞,1).
點評:本是考查數(shù)列與不等式的綜合,此類題一般難度較大,解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項求和的技巧,本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項,是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項的常用方法,對于不等式恒成立求參數(shù)的問題,本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨立出來,通過求關(guān)于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍,本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想,方程的思想,構(gòu)造法的技巧,綜合性強,技巧性強,題后應(yīng)注意總結(jié)本題解法上的規(guī)律