Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax
（1）a=-1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=-1時，f（x）=

1

3

x³-x，得f′（x）=（x+1）（x-1），從而f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，在（-1，1）遞減；
（2）設a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，只需f（x）+

2

3

a＞0即可，令g（x）=f（x）+

2

3

a=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax+

2

3

a，得g′（x）=（x-a）（x-1），再分情況討論①0＜a＜1時②a=1時③a＞1時的a的范圍，從而得出答案．

解答： 解：（1）a=-1時，f（x）=

1

3

x³-x，
∴f′（x）=（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，在（-1，1）遞減；
（2）設a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，
只需f（x）+

2

3

a＞0即可，
令g（x）=f（x）+

2

3

a=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax+

2

3

a，
∴g′（x）=（x-a）（x-1），
①0＜a＜1時，g（x）在（0，a），（1，+∞）遞增，在（a，1）遞減，
∴g（x）_最小值=g（x）_極小值=g（1）=

1

3

-

1

2

（a+1）+a+

2

3

a＞0，
解得：

1

7

＜a＜1，
②a=1時，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）單調遞增，
∴g（x）_最小值=g（0）=

2

3

a＞0，
③a＞1時，f（x）在（0，1），（a，+∞）遞增，在（1，a）遞減，
∴只需g（x）_最小值=g（x）_極小值=g（a）=

1

3

a³-

1

2

（a+1）a²+a²+

2

3

a＞0，
解得：1＜a＜4，
綜合①②③得：a的取值范圍是（

1

7

，4）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了數(shù)形結合思想，是一道中檔題．