Question

18．如圖，AA₁，BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，且AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=2．
（ I）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-B₁DE的體積．

Answer 1

分析 （I）利用線面平行的判定定理證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）根據三棱錐A₁-B₁DE的體積=三棱錐E-A₁B₁D的體積，利用錐體的體積公式求體積．

解答 （I）證明：連結EO，OA．
∵E，O分別為B₁C，BC的中點，
∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=$\frac{1}{2}$BB₁．
∴四邊形AOED是平行四邊形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC；
（II）解：∵BC是底面圓O的直徑，∴CA⊥AB，
∴CA⊥平面AA₁B₁B，
∵E是CB₁的中點，
∴E到平面AA₁B₁B的距離=$\frac{1}{2}$CA=1，
∵D是CB₁的中點，且AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=2．
∴三棱錐A₁-B₁DE的體積=三棱錐E-A₁B₁D的體積=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理，以及錐體的體積公式．