分析 ( I)把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組,求出每個不等式組的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)當a,b∈M時,等價轉(zhuǎn)化不等式5|a+b|≤|ab+25|為(a2-25)•(25-b2)≤0,結(jié)合題意可得(a2-25)•(25-b2)≤0成立,從而得出結(jié)論.
解答 解:( I)由f(x)=|x|+|x+10|≤x+15得:
{x<−10−x−x−10≤x+15 ①,或{−10≤x≤0−x+x+10≤x+15 ②,或{x>0x+x+10≤x+15 ③.
解①求得x∈∅,解②求得-5≤x≤0,解③求得5≥x>0,
故原不等式的解集為M={x|-5≤x≤5 }.
( II)當a,b∈M時,-5≤a≤5,-5≤b≤5,不等式 5|a+b||≤|ab+25|,
等價于25(a+b)2≤(ab+25)2,即25(a2+b2+2ab)≤a2•b2+50ab+625,
即25a2+25b2-a2•b2-625≤0,等價于(a2-25)•(25-b2)≤0.
而由-5≤a≤5,-5≤b≤5,可得a2≤25,b2≤25,∴a2-25≤0,25-b2≥0,∴(a2-25)•(25-b2)≤成立,
故要證的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立.
點評 本題主要考查絕對值不等式的解法,用分析法證明不等式,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | (-√52,√52) | B. | [-32,32] | C. | [-√52,32] | D. | [-32,-√52)∪(√52,32] |
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A. | 255 | B. | 256 | C. | 511 | D. | 512 |
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