Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+1），其中a＞0且a≠1．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上為增函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把$a=\frac{1}{2}$代入函數(shù)解析式，可得定義域為R，利用配方法求出真數(shù)的范圍，結合復合函數(shù)單調性求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）對a＞1和0＜a＜1分類討論，由ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上得單調性及ax²-x+1＞0對$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立列不等式組求解a的取值范圍，最后取并集得答案．

解答 解：（1）當$a=\frac{1}{2}$時，$a{x^2}-x+1=\frac{1}{2}{x^2}-x+1=\frac{1}{2}[{（x-1）^2}+1]＞0$恒成立，
故定義域為R，
又∵$a{x^2}-x+1=\frac{1}{2}[{（x-1）^2}+1]≥\frac{1}{2}$，且函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}x$在（0，+∞）單調遞減，
∴${log_{\frac{1}{2}}}（\frac{1}{2}{x^2}-x+1）≤{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}=1$，即函數(shù)f（x）的值域為（-∞，1]；
（2）依題意可知，
i）當a＞1時，由復合函數(shù)的單調性可知，必須ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上遞增，且ax²-x+1＞0對$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立．
故有$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2a}≤\frac{1}{4}\\ a•{（\frac{1}{4}）^2}-\frac{1}{4}+1＞0\end{array}\right.$，解得：a≥2；
ii）當0＜a＜1時，同理必須ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上遞減，且ax²-x+1＞0對$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立．
故有$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2a}≥\frac{3}{2}\\ a•{（\frac{3}{2}）^2}-\frac{3}{2}+1＞0\end{array}\right.$，解得：$\frac{2}{9}＜a≤\frac{1}{3}$．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為$（{\frac{2}{9}，\frac{1}{3}}]∪[{2，+∞}）$．

點評 本題考查復合函數(shù)的單調性，考查了復合函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法及數(shù)學轉化思想方法，屬中檔題．