Question

17．雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁作傾斜角為45°的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于M點(diǎn)，若MF₂垂直x軸，則雙曲線(xiàn)的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 將x=c代入雙曲線(xiàn)方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，通過(guò)解直角三角形列出三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，求出離心率的值．

解答 解：將x=c代入雙曲線(xiàn)的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得y=$\frac{^{2}}{a}$，
即M（c，$\frac{^{2}}{a}$）．
在△MF₁F₂中tan45°=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=1
即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}=1$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線(xiàn)中三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．