已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x+y≤2，則
2
x+3y
+
1
x-y
的最小值為
 
．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：設(shè)x-y=t＞0，x+y≤2，2y+t≤2，0＜t＜2．可得
2
x+3y
+
1
x-y
=
2
4y+t
+
1
t
≥
2
4-t
+
1
t
=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
解答： 解：設(shè)x-y=t＞0，x+y≤2，2y+t≤2，0＜t＜2．
∴
2
x+3y
+
1
x-y
=
2
4y+t
+
1
t
≥
2
4-t
+
1
t
=f（t），
f′（t）=
2
(4-t)2
-
1
t2
=
(t+4+4
2
)(t+4-4
2
)
(4t-t2)2
，
當(dāng)2＞t＞4
2
-4時(shí)，f′（t）＞0，此時(shí)函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜t＜4
2
-4時(shí)，f′（t）＜0，此時(shí)函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=4
2
-4時(shí)，f（t）取得最小值，f(4
2
-4)=
3+2
2
4
．
∴
2
x+3y
+
1
x-y
的最小值為
3+2
2
4
．
故答案為：
3+2
2
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x•ㄧxㄧ-2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）畫出y=f（x）的圖象，并結(jié)合圖象寫出f（x）=m有三個(gè)不同實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且anan+1=2n，則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為（　�。�
A、3×211-3
B、3×211-1
C、3×210-2
D、3×210-5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=1-2cos2x+5sinx，求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=sin（2x+θ）的圖象向左平移
π
3
個(gè)單位后恰好與y=sin2x的圖象重合，則θ的最小正值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m是正整數(shù)，試證下列等式
（1）
∫
π
-π
sinmxdx=0   
（2）
∫
π
-π
cosmxdx=0  
（3）
∫
π
-π
sin2mxdx=π 
（4）
∫
π
-π
cos2mxdx=π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=sin（ωx-
π
4
）（ω＞0）在區(qū)間（0，
π
2
）上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（　�。�
A、（0，
3
2
]
B、[1，
3
2
]
C、[1，2]
D、（0，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)镈，D⊆[0，4π]，它的對(duì)應(yīng)法則為 f：x→sin x，現(xiàn)已知 f（ x）的值域?yàn)閧0，-
1
2
，1}，則這樣的函數(shù)共有
 
個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，記P：?x∈R，ex＜kx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn) P（0，f（0））處的切線的方程；
（2）若P為真，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若[x]表示不大于x的最大整數(shù)，試證明不等式ln
n+1
n
≤
1
n
（n∈N*），并求S=[
1
10
+
1
11
+
1
12
+…+
1
100
]的值．

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