Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，且前n項之和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂，a₄，a₉成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

解（1）當n=1時，由題意可得6a₁=
∴a₁=1或a₁=2
當n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
兩式相減可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
由題意可得，a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=3
當a₁=1時，a_n=3n-2，此時=a₂•a₉成立
當a₁=2時，a_n=3n-1，此時=a₂•a₉不成立
故a_n=3n-2，
（2）∵b_n=2^3n-2，是以公比q=8的等比數列，
∴數列的前n項和為=
分析：（1）當n=1時，由已知可求a₁，當n≥2時，由a_n=s_n-s_n-1可得a_n-a_n-1=3，結合等差數列的通項公式可求a_n，然后代入檢驗是否滿足=a₂•a₉成立，即可
（2）由（1）可求b_n=2^3n-2，由等比數列的求和公式可求
點評：本題主要考查了數列的遞推公式n≥2時，a_n=s_n-s_n-1在數列通項公式的求解中的應用，等差數列的通項公式及等比數列的性質及求和公式的綜合應用