Question

16．已知集合A_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x_i∈{-1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A_n，x=（x₁，x₂，…，x_n），y=（y₁，y₂，…，y_n），其中x_i，y_i∈{-1，1}（i=1，2，…，n）．定義x⊙y=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n．若x⊙y=0，則稱x與y正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），寫出A₄中與x正交的所有元素；
（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A_n}．若m∈B，證明：m+n為偶數(shù)；
（Ⅲ）若A⊆A_n，且A中任意兩個(gè)元素均正交，分別求出n=8，14時(shí)，A中最多可以有多少個(gè)元素．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由子集定義直接寫出答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意分別表示出m，n即可；
（Ⅲ）根據(jù)兩個(gè)元素均正交的定義，分別求出n=8，14時(shí)，A中最多可以有多少個(gè)元素即可．

解答 解：（Ⅰ）A₄中所有與x正交的元素為（-1，-1，1，1）（1，1，-1，-1），（-1，1，-1，1），（-1，1，1，-1），（1，-1，-1，1），（1，-1，1，-1）． …（3分）
（Ⅱ）對(duì)于m∈B，存在x=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{-1，1}，y=（y₁，y₂，…，y_n），其中x_i，y_i∈{-1，1}；
使得x⊙y=m．
令${λ}_{1}=\left\{\begin{array}{l}{1\\;\\;\\;\\;\\;（{x}_{i}={y}_{i}）}\\{0\\;\\;\\;\\;\\;（{x}_{i}≠{y}_{i}）}\end{array}\right.$，$k=\sum_{i=1}^{n}{λ}_{i}$；當(dāng)x_i=y_i時(shí)，x_iy_i=1，當(dāng)x_i≠y_i時(shí)，x_iy_i=-1．
那么x⊙y=$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}=k-（n-k）=2k-n$．
所以m+n=2k-n+n=2k為偶數(shù)．…（8分）
（Ⅲ）8個(gè)，2個(gè)
n=8時(shí)，不妨設(shè)x_{1=（1，1，1，1，1，1，1，1）}，x₂=（-1，-1，-1，-1，1，1，1，1）．
在考慮n=4時(shí)，共有四種互相正交的情況即：（1，1，1，1）$；\left\{\begin{array}{l}{\\;\\;1\\;\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;1}\\{-1\\;\\;\\;\\;\\;1\\;\\;-1\\;\\;\\;1}\\{-1\\;\\;\\;-1\\;\\;\\;\\;1\\;\\;\\;1}\\{\\;\\;1\\;\\;\\;-1\\;\\;-1\\;\\;\\;1}\end{array}\right.$，（-1，1，-1，1），（-1，-1，1，1），（1，-1，-1，1）分別與x₁，x₂搭配，可形成8種情況．
所以n=8時(shí)，A中最多可以有8個(gè)元素．…（10分）
N=14時(shí)，
不妨設(shè)y₁=（1，1…1，1），（14個(gè)1），y₂=（-1，-1…-1，1，1…1）（7個(gè)1，7個(gè)-1），則y₁與y₂正交．
令a=（a₁，a₂，…a₁₄），b=（b₁，b₂，…b₁₄），c=（c₁，c₂，…c₁₄）且它們互相正交．
設(shè) a、b、c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有k個(gè)，除去這k列外
a、b相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有m個(gè)，
c、b相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有n個(gè)．
則a⊙b=m+k-（14-m-k）=2m+2k-14．
所以m+k=7，同理n+k=7．
可得m=n．
由于a⊙c=-m-m+k+（14-k-2m）=0，可得2m=7，m=$\frac{7}{2}∉N$矛盾．
所以任意三個(gè)元素都不正交．
綜上，n=14時(shí)，A中最多可以有2個(gè)元素．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義問題，主要考查學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，屬于難題．