【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式恒成立，則的最小值為_______.

【答案】

【解析】

求出，可得當(dāng)時，，在 上為增函數(shù)，

從而是不可能恒成立的.，當(dāng)時，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，可得出函數(shù)的最大值,從而得到，設(shè)，然后求導(dǎo)得出函數(shù)的最小值即可.

函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)

則，

當(dāng)時，，在 上為增函數(shù)，

又當(dāng) 時，所以是不可能恒成立的.

當(dāng)時，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

所以

由不等式恒成立，即恒成立.

即恒成立，

所以

設(shè)，則

設(shè)，則

由得， ，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由得， ，此時函數(shù)單調(diào)遞減，

所以

又當(dāng)時，，,當(dāng)時，.

所以當(dāng) 時，，單調(diào)遞減.

當(dāng) 時，，單調(diào)遞增.

所以

所以的最小值為：.

故答案為：.

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