Question

已知O為△ABC的外接圓圓心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若向

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，則λ₂-λ₁=

1

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求λ₁，λ₂的值．

解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線m：x=1，又在AC的中垂線l上，
AC的中點(diǎn)（-

1

4

，-

3

4

），AC的斜率為tan120°=-

3

，
∴中垂線l的方程為 y=

3

3

（x+

1

4

）+

3

4

．
把直線 m和l 的方程聯(lián)立方程組

x=1 y= 3 3 (x+ 1 4 )+ 3 4

，
解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由條件

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

得（1，

2 3

3

）=λ₁（2，0）+λ₂（-

1

2

，

3

2

）
即

1=2λ1- 1 2 λ2 2 3 3 = 3 2 λ2

，
∴，解得λ₁=

5

6

，λ₂=

4

3

，
∴λ₂-λ₁=

1

2

故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．