Question

（本小題滿分14分）

已知函數處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）b=－2.（Ⅱ）c<－1或c>2. （Ⅲ）恒成立.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵f(x)=x³－x²+bx+c，

∴f′(x)=3x²－x+b.         ……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.             ……3分

經檢驗，符合題意.         ……4分

（Ⅱ）f(x)=x³－x²－2x+c.

∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，     …5分

x					1	(1,2)	2
f′(x)		+	0	－	0	+
f(x)

                     ……7分

∴當x=－時，f(x)有極大值+c.     

又

∴x∈[－1，2]時，f(x)最大值為f(2)=2+c.     ……8分

∴c²>2+c.  ∴c<－1或c>2.      …………10分

（Ⅲ）對任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，當x=1時，f(x)有極小值.

又       …12分

∴x∈[－1，2]時，f(x)最小值為.

，故結論成立. ……14分

考點：本題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性、最值，不等式恒成立。

點評：中檔題，導數的應用是高考必考內容，思路往往比較明確根據導數值的正負，確定函數的單調性。對于“恒成立”問題，往往轉化成求函數最值問題。