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6.如圖,圓O:x2+y2=4與坐標(biāo)軸交于點A,B,C.設(shè)點M是圓上任意一點(不在坐標(biāo)軸上),直線CM交x軸于點D,直線BM交直線AC于點N.
(1)當(dāng)D點坐標(biāo)為(23,0)時,求弦CM的長;
(2)求證:2kND-kMB是與CM斜率k無關(guān)的定值.

分析 (1)由已知可得A,B,C的坐標(biāo),得到直線CM的方程,由點到直線距離公式求出圓心到直線CM的距離,再由垂徑定理求得弦CM的長;
(2)設(shè)直線CM的方程為:y=kx+2(k存在,k≠0,k≠±1),則D(2k0),聯(lián)立直線方程與圓的方程,求出M的坐標(biāo),的到BM的斜率,再聯(lián)立AC、BM的方程,求出N的坐標(biāo),得到ND的斜率,則可證得2kND-kMB是與CM斜率k無關(guān)的定值.

解答 (1)解:A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
直線CM:x+3y23=0,
圓心到直線CM的距離d=231+32=3,
∴弦CM的長為2R2usge4642=2
(2)證明:設(shè)直線CM的方程為:y=kx+2(k存在,k≠0,k≠±1),則D(2k0),
{y=kx+2x2+y2=4,得(1+k2)x2+4kx=0,
解得:x=0或x=-4k1+k2,
將x=-4k1+k2代入直線CM,得y=22k21+k2
M4k1+k222k21+k2,
kBM=k1k+1,直線BM:y=k1k+1x2,
聯(lián)立{xy+2=0y=k1k+1x2,解得{x=2ky=22k,則N(-2k,2-2k),
kND=k1+k,
2kNDkMB=2k1+kk1k+1=1為定值.

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查計算能力,是中檔題.

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