6.如圖,圓O:x2+y2=4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,C.設(shè)點(diǎn)M是圓上任意一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),直線CM交x軸于點(diǎn)D,直線BM交直線AC于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2$\sqrt{3}$,0)時(shí),求弦CM的長;
(2)求證:2kND-kMB是與CM斜率k無關(guān)的定值.

分析 (1)由已知可得A,B,C的坐標(biāo),得到直線CM的方程,由點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線CM的距離,再由垂徑定理求得弦CM的長;
(2)設(shè)直線CM的方程為:y=kx+2(k存在,k≠0,k≠±1),則D($-\frac{2}{k},0$),聯(lián)立直線方程與圓的方程,求出M的坐標(biāo),的到BM的斜率,再聯(lián)立AC、BM的方程,求出N的坐標(biāo),得到ND的斜率,則可證得2kND-kMB是與CM斜率k無關(guān)的定值.

解答 (1)解:A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
直線CM:$x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$,
圓心到直線CM的距離$d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=\sqrt{3}$,
∴弦CM的長為$2\sqrt{{R}^{2}-nswfukn^{2}}=2$;
(2)證明:設(shè)直線CM的方程為:y=kx+2(k存在,k≠0,k≠±1),則D($-\frac{2}{k},0$),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,得(1+k2)x2+4kx=0,
解得:x=0或x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$,
將x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$代入直線CM,得$y=\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$,
即$M(-\frac{4k}{1+{k}^{2}},\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}})$,
則${k}_{BM}=\frac{k-1}{k+1}$,直線BM:$y=\frac{k-1}{k+1}(x-2)$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{y=\frac{k-1}{k+1}(x-2)}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2k}\\{y=2-2k}\end{array}\right.$,則N(-2k,2-2k),
得${k}_{ND}=\frac{k}{1+k}$,
∴$2{k}_{ND}-{k}_{MB}=\frac{2k}{1+k}-\frac{k-1}{k+1}=1$為定值.

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查計(jì)算能力,是中檔題.

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