Question

6．如圖，圓O：x²+y²=4與坐標(biāo)軸交于點A，B，C．設(shè)點M是圓上任意一點（不在坐標(biāo)軸上），直線CM交x軸于點D，直線BM交直線AC于點N．
（1）當(dāng)D點坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）時，求弦CM的長；
（2）求證：2k_ND-k_MB是與CM斜率k無關(guān)的定值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A，B，C的坐標(biāo)，得到直線CM的方程，由點到直線距離公式求出圓心到直線CM的距離，再由垂徑定理求得弦CM的長；
（2）設(shè)直線CM的方程為：y=kx+2（k存在，k≠0，k≠±1），則D（$-\frac{2}{k}，0$），聯(lián)立直線方程與圓的方程，求出M的坐標(biāo)，的到BM的斜率，再聯(lián)立AC、BM的方程，求出N的坐標(biāo)，得到ND的斜率，則可證得2k_ND-k_MB是與CM斜率k無關(guān)的定值．

解答 （1）解：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
直線CM：$x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$，
圓心到直線CM的距離$d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}=\sqrt{3}$，
∴弦CM的長為$2\sqrt{{R}^{2}-usge464^{2}}=2$；
（2）證明：設(shè)直線CM的方程為：y=kx+2（k存在，k≠0，k≠±1），則D（$-\frac{2}{k}，0$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+4kx=0，
解得：x=0或x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
將x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$代入直線CM，得$y=\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
即$M（-\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，
則${k}_{BM}=\frac{k-1}{k+1}$，直線BM：$y=\frac{k-1}{k+1}（x-2）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{y=\frac{k-1}{k+1}（x-2）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2k}\\{y=2-2k}\end{array}\right.$，則N（-2k，2-2k），
得${k}_{ND}=\frac{k}{1+k}$，
∴$2{k}_{ND}-{k}_{MB}=\frac{2k}{1+k}-\frac{k-1}{k+1}=1$為定值．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計算能力，是中檔題．