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已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）的離心率e=
2
2
，且經過點（
6
，1），O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P、Q，當∠PMQ=60°時，求直線PQ的方程．
分析：（Ⅰ）根據橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，可得a2=2b2，利用橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1經過點（
6
，1），我們有
6
a2
+
1
b2
=1，從而可求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設M（-4，m），由圓的切線性質及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進而以OM為直徑的圓K的方程為（x+2）2+（y-2）2=8與圓O：x2+y2=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，
∴
c
a
=
2
2
，∴
a2-b2
a2
=
1
2
，∴a2=2b2①
∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1經過點（
6
，1），
∴
6
a2
+
1
b2
=1②
①代入②可得b2=4
∴a2=2b2=8
∴橢圓E的標準方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設M（-4，m）
由圓的切線性質及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°
∵|OP|=2
2
，∴|OM|=4
2

∴
16+m2
=4
2

∵m＞0，∴m=4
∴M（-4，4）
∴以OM為直徑的圓K的方程為（x+2）2+（y-2）2=8
與圓O：x2+y2=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程為：x-y+2=0
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關鍵是確定M的坐標，進而確定以OM為直徑的圓K的方程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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