Question

設(shè)數(shù)列{a_n}具有以下性質(zhì)：①a₁=1；②當(dāng)n∈N^*時，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）請給出一個具有這種性質(zhì)的數(shù)列，使得不等式對于任意的n∈N^*都成立，并對你給出的結(jié)果進(jìn)行驗證（或證明）；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且記數(shù)列{b_n}的前n項和B_n，證明：0≤B_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（I）令，則無窮數(shù)列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出，顯然，該數(shù)列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），利用等比數(shù)列求和也滿足條件；
（II）根據(jù)a_n≤a_n+1可得，∴b_n≥0，則B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0，將轉(zhuǎn)化成
，然后疊加可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：令，
則無窮數(shù)列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出．
顯然，該數(shù)列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），
且------------------（6分）
（Ⅱ）證明∵，∴b_n≥0．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0．-------------------------（8分）
又
=
=．
∴．
∴0≤B_n＜2．--------------------------------（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的函數(shù)特性和求和，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于中檔題．