在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)為圓心的圓與直線x-
3
y-4=0
相切.
(Ⅰ)求圓O的方程;
(Ⅱ)直線l:y=kx+3與圓O交于A,B兩點(diǎn),在圓O上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形,若存在,求出此時(shí)直線l的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)圓O的半徑為r,由圓心為原點(diǎn)(0,0),根據(jù)已知直線與圓O相切,得到圓心到直線的距離d=r,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d,即為圓的半徑r,由圓心和半徑寫(xiě)出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
(Ⅱ)在圓O上存在一點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形.理由為:
法1:由直線l與圓O相交,得到圓心到直線l的距離d小于圓的半徑r,利用關(guān)于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范圍,假設(shè)存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形,利用菱形的性質(zhì)得到對(duì)角線OM與AB垂直且平分,可得出圓心O到直線l的距離d等于|OM|的一半,即為半徑的一半,根據(jù)半徑求出d的值,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,代入k范圍中檢驗(yàn),滿足條件,故存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形;
法2:記OM與AB交于點(diǎn)C(x0,y0),由菱形的對(duì)角線互相垂直,根據(jù)直線l的斜率為k(k不為0),利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線OM的斜率,確定出直線OM的方程,將直線OM的方程與直線l方程聯(lián)立組成方程組,求出方程組的解表示出x0與y0,確定出M的坐標(biāo),將M的坐標(biāo)代入圓O的方程中,得到關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件,故存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形.
解答:(本小題共13分)
解:(Ⅰ)設(shè)圓O的半徑為r,圓心為(0,0),
∵直線x-
3
y-4=0與圓O相切,
∴d=r=
|0-
3
×0-4|
1+3
=2,…(3分)
則圓O的方程為x2+y2=4;…(5分)
(Ⅱ)在圓O上存在一點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形,理由為:
法1:∵直線l:y=kx+3與圓O相交于A,B兩點(diǎn),
∴圓心O到直線l的距離d=
3
1+k2
<r=2,
解得:k>
5
2
或k<-
5
2
,…(7分)
假設(shè)存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形,…(8分)
則OM與AB互相垂直且平分,…(9分)
∴圓心O到直線l:y=kx+3的距離d=
1
2
|OM|=1,…(10分)
即d=
3
1+k2
=1,整理得:k2=8,…(11分)
解得:k=±2
2
,經(jīng)驗(yàn)證滿足條件,…(12分)
則存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形;…(13分)
法2:記OM與AB交于點(diǎn)C(x0,y0),
∵直線l斜率為k,顯然k≠0,
∴OM直線方程為y=-
1
k
x,…(7分)
將直線l與直線OM聯(lián)立得:
y=kx+3
y=-
1
k
x

解得:
x0=
-3k
k2+1
y0=
3
k2+1
,
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(
-6k
k2+1
6
k2+1
),…(9分)
又點(diǎn)M在圓上,將M坐標(biāo)代入圓方程得:(
-6k
k2+1
2+(
6
k2+1
2=4,
解得:k2=8,…(11分)
解得:k=±2
2
,經(jīng)驗(yàn)證滿足條件,…(12分)
則存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形.…(13分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,涉及的知識(shí)有:點(diǎn)到直線的距離公式,兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題,菱形的性質(zhì),以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,當(dāng)直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑;當(dāng)直線與圓相交時(shí),圓心到直線的距離小于圓的半徑;當(dāng)直線與圓相離時(shí),圓心到直線的距離大于圓的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
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3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

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(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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