Question

18．S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₁=1，S_n=n•a_n+1+2ⁿ，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式為T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 S_n=n•a_n+1+2ⁿ，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：S_n=n•a_n+1+2ⁿ，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n•a_n+1+2ⁿ-$[（n-1）•{a}_{n}+{2}^{n-1}]$，
∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1，
∴$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
數(shù)列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
故答案為：T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．