Question

8．當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 逆用二倍角的正切與二倍角的余弦、正弦，可化簡(jiǎn)f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=2sin2x，再結(jié)合已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的有界性可得答案．

解答 解：∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2x＜π，
∴0＜sin2x≤1，
∴f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=2（1+cos2x）•tanx=4cos²x•$\frac{sinx}{cosx}$=2sin2x≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)取到“=”，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，逆用二倍角的正切、余弦、正弦，化簡(jiǎn)f（x）=2sin2x是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與整體運(yùn)用能力，屬于中檔題．