Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，點E是AB中點，點M為D₁C的中點．
（I）證明：直線ME∥平面ADD₁A₁；
（II）求二面角A-D₁E-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當E為AB的中點時，ME∥平面ADD₁A₁．取DD₁的中點N，連接MN、AN、ME，證明 ME∥AN，即可證明ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）當E為AB的中點時，結合二面角A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C大小的和，只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；過A點作AF⊥DE交DE于F，過F作FH⊥D₁E于H，連接AH，則∠AHF即為二面角A-D₁E-D的平面角，通過AH•D₁E=AE•AD₁然后求出sin∠AHF，即可求出二面角A-D₁E-C的大�。�
解答：證明：（Ⅰ）當E為AB的中點時，ME∥平面ADD₁A₁．
證明：取DD₁的中點N，連接MN、AN、ME，
MN∥CD，AE∥CD，
∴四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN
∵AN在平面AD₁內(nèi)
∴ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）當E為AB的中點時，DE=，CE=，又CD=2，
可知∠DEC=90°，所以DE⊥CE，平面CED₁⊥平面DD₁E，
所以二面角D-D₁E-C的大小為；
又二面角A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C大小的和，
只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；
過A點作AF⊥DE交DE于F，則AF⊥平面DD₁E，AF=，
過F作FH⊥D₁E于H，連接AH，
則∠AHF即為二面角A-D₁E-D的平面角，
在Rt△AED₁中，又AH•D₁E=AE•AD₁，
∴AH====，
∴sin∠AHF===，
所以二面角A-D₁E-C的大小為．
點評：本題考查直線與平面平行，二面角的求法，考查轉化思想，空間想象能力，計算能力．