Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+m}$（m≠0），則下列結(jié)論正確的是①④
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且過點(diǎn)（0，0）；
②函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是x=±$\sqrt{m}$；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，值域是R；
④當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的解析式對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵f（-x）=-$\frac{x}{{x}^{2}+m}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（0）=0，∴函數(shù)f（x）過點(diǎn)（0，0），故正確；
②m＞0，函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是x=±$\sqrt{m}$；，故不正確
③當(dāng)m＜0時(shí)，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）單調(diào)遞減函數(shù)，故不正確；
④當(dāng)m＞0時(shí)，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，大致圖象如圖所示

所以函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)．正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．