橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點，且PF1•PF2的最大值為3c2，其中c2=a2-b2，則橢圓M的離心率為
 
．
分析：先根據(jù)題意得到兩焦點的坐標，設出點P的坐標進而可表示出
PF1
、
PF2
，再得到二者的數(shù)量積后將x2=
a2 (b2-y2)
b2
代入消去x得到關于y的關系式，進而可得到當y=0時
PF1
•
PF2
的值取到最大，進而可求出離心率．
解答：解：由題意可知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設點P為（x，y）
∵
x2
a2
+
y2
b2
=1∴x2=
a2 (b2-y2)
b2

∴
PF1
=(-c-x，-y)，
PF2
=(c-x，-y)
∴
PF1
•PF2
=x2-c2+y2=
a2 (b2-y2)
b2
-c2+y2
=a2-c2-
c2y2
b2

當y=0時
PF1
•PF2
取到最大值3c2，即a2-c2=3c2，
∴a2=4c2∴e=
c
a
=
1
2

故答案為：
1
2
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和橢圓的簡單性質(zhì)．考查對基礎知識的綜合運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•山東）如圖，橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A、B、C是橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標為(2
3
，0)，BC過橢圓M的中心，且
CA
•
CB
=0，2|
CA
|=|
CB
|．
（I）求橢圓M的方程；
（II）過點M(0，
3
2
)且不垂直于坐標軸的直線l與橢圓M交于兩點E、F，設D為橢圓M與y軸負半軸的交點，且|
DE
|=|
DF
|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右頂點和上頂點分別為A，B，直線AB與直線y=-x相交于點P，若點P在拋物線y2=-ax上，則橢圓M的離心率等于
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•惠州模擬）（理科）設橢圓M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-2
與x軸交于點A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O為坐標原點）
（1）求橢圓M的方程；
（2）設點P是橢圓M上的任意一點，線段EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點的直線x+y-
3
=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為
1
2
．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

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