Question

設函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（2）若x∈[0，3a]，試求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）要求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即求函數(shù)f（x）的f′（x），令f′（x）=0，解出x，再根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（2）由（1）知函數(shù)當x∈（0，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．進而得到函數(shù)f（x）在[0，3a]上的最值．

解答：解：（1）f′（x）=-x²+4ax-3a²．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x	（-∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	- 4 3 a3+b	遞增	b	遞減

由表可知：當x∈（-∞，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（3a，+∞）時，函數(shù)f（x）也為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，a），（3a，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（a，3a）．當x=a時，f（x）的極小值為-

4

3

a³+b；當x=3a時，f（x）的極大值為b．
（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，3a）	3a
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	b	遞減	- 4 3 a3+b	遞增	b

由表知：當x∈（0，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∴當x=a時，f（x）的最小值為-

4

3

a³+b；當x=0或x=3a時，f（x）的最大值為b．

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于中檔題．