Question

已知函數(shù)f(x)=

eax

x-1

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)在x=0時(shí)的函數(shù)值f（0），求出f^′（0），利用直線方程的點(diǎn)斜式可得曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0，a＜0，a＞0三種情況分析導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)，當(dāng)a=0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒小于0，所以原函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)a≠0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)由零點(diǎn)把定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

ex

x-1

，則f′(x)=

ex(x-2)

(x-1)2

．
又f（0）=

e0

0-1

=-1，f′(0)=

e0(0-2)

(0-1)2

=-2，
所以f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函數(shù)f(x)=

eax

x-1

，得：f′(x)=

eax[ax-(a+1)]

(x-1)2

．
當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

-1

(x-1)2

＜0，
又函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，
所以 f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），（1，+∞）．
當(dāng)a≠0時(shí)，令f^′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x=

a+1

a

，
當(dāng)a＞0時(shí)，x=

a+1

a

＞1，
所以f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	（-∞，1）	1	(1， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，+∞)
f′（x）	-	無定義	-	0	+
f（x）	減函數(shù)		減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），（1，

a+1

a

），
單調(diào)遞增區(qū)間為(

a+1

a

，+∞)，
當(dāng)a＜0時(shí)，x=

a+1

a

＜1，
所以所以f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	(-∞， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	無定義	-
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)		減函數(shù)

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

a+1

a

)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(

a+1

a

，1)，（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上的某點(diǎn)的切線方程，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解答此題時(shí)，最后下結(jié)論的時(shí)候?qū)W生容易出錯(cuò)，誤把函數(shù)的減區(qū)間取并集．此題是中檔題．