Question

已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{a_n}滿足，，n∈N^*．
（Ⅰ） 求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 若c₁=1，（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求S_n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）、根據(jù)題中已知條件可以推導(dǎo)出，即可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，將代入等差數(shù)列中即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）、根據(jù)題中已知條件先求出c_n的表達(dá)式，然后求出c_na_n+1的表達(dá)式，即可求出S_n的表達(dá)式，有Sn的表達(dá)式可知當(dāng)n=1時(shí)，S_n的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由，
∴，即，（2分）
∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，（3分）
∴
∴，（4分）
（Ⅱ）∵（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，
∴，
∴
=，（6分）
∴，（8分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=[（-）+（-）+（）+…+（）+（）]
=
=，（10分）
∵S_n在（0，+∞）上是增函數(shù)，（11分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n有最小值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和和數(shù)列的推導(dǎo)公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．