Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），求的值；

（2）記.

①若在區(qū)間（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍；

②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點(diǎn)的切線，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或，②.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出與的極值點(diǎn)即可；

（2）①轉(zhuǎn)化為求在上恒成立，再求其補(bǔ)集即可，即有，令，求導(dǎo)，分和討論求值最小值，列不等式求出的取值范圍，再求其補(bǔ)集即可；

②設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，可把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)，分，，討論求出單調(diào)性和極值，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以.

令，解得（舍去）.

		1
	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以為函數(shù)的極大值點(diǎn).

因?yàn)?/span>，所以.

令，解得.

	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以為函數(shù)的極大值點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的極值點(diǎn)，所以.

（2）①.

先求在上恒成立，即有.

令，則，令，得.

若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，得.

若時(shí)，同理得，得.

綜上，的取值范圍為或；

②設(shè)切點(diǎn)，

則切線方程為，又切線過原點(diǎn)，

則，整理得

設(shè)，題意即為，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).

由于.

（i）當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，在上遞減，此時(shí)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件；

（iii）當(dāng)時(shí)，令，

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

所以極小值.

要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須滿足，所以.

因?yàn)?/span>在連續(xù)且為增函數(shù)，所以在唯一零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，而在連續(xù)且為減函數(shù)，故在有唯一零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足條件.

故所求的取值集合為.