Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）分別為其左、右焦點(diǎn)，A、B分別為其上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)，且滿足∠F₁AB=90°．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)F₂、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足

RP

=-2

PF2

？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得到A，B的坐標(biāo)，寫出向量

AF1

，

AB

的坐標(biāo)，把∠F₁AB=90°轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積等于0得到b²=ac，結(jié)合b²=a²-c²列式求得橢圓C的離心率e；
（2）寫出過點(diǎn)F₂、P的直線l的點(diǎn)斜式方程，求出R的縱坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，由

RP

=-2

PF2

得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入橢圓方程得到

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1，又b²=ac，代入后得到關(guān)于橢圓離心率的方程，把（1）中求出的離心率代入求得k的值為負(fù)值，從而說明直線不存在．

解答：解：（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），
則

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)
∵∠F1AB=90°，∴

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，∴b²=ac，
∴c²+ac-a²=0，即(

c

a

)2+

c

a

-1=0，解得e=

c

a

=

5 -1

2

；
（2）顯然直線l的斜率存在．
設(shè)l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．設(shè)P（x₀，y₀），
由

RP

=-2

PF2

，得（x₀，y₀+kc）=-2（c-x₀，-y₀），
得P（2c，kc），代入橢圓方程得，

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1，又b²=ac，
所以4(

c

a

)2+k2•

c

a

-1=0，
將

c

a

=

5 -1

2

代入得，k2=

5-3 5

2

＜0，矛盾．
故不存在滿足題意的直線l．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生靈活處理和解決問題的能力，是中高檔題．