Question

3．已知三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=4，AB=AD=$2\sqrt{3}$，則三棱錐A-BCD的外接球的大圓面積為9π．

Answer 1

分析 利用已知三棱錐A-BCD的特點AB=AC=AD，先確定△ABD的外心O，及外接圓的半徑，然后證明O也是三棱錐A-BCD的外接球的球心，即可解答．

解答 解：∵如圖取BD的中點E，連接AE，CE．
則AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
設△ABD的外接圓的圓心為O，半徑為r．
∵AB=AD，
∴圓心O在AE所在的直線上．
∴r²=BE²+OE²=BE²+（r-AE）²．
∵在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$．
∴BE=EC=2$\sqrt{2}$．
∴在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{12-8}$=2．
∴r²=8+（r-2）²，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+E{C}^{2}}$=3．
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴點O是三棱錐A-BCD的外接球的球心，則球半徑R=3．
∴大圓面積S=πR²=9π．
故答案為：9π．

點評 本題考查球內接多面體及其度量，考查空間想象能力，計算能力，解答的關鍵是確定球心位置，利用已知三棱錐的特點是解決問題關鍵，屬于難題．