Question

17．已知某射手射擊一次，擊中目標的概率是$\frac{2}{5}$．
（1）求連續(xù)射擊5次，恰有3次擊中目標的概率；
（2）求連續(xù)射擊5次，擊中目標的次數(shù)X的數(shù)學期望和方差．
（3）假設連續(xù)2次未擊中目標，則中止其射擊，求恰好射擊5次后，被中止射擊的概率．（本題結果用分數(shù)表示即可）．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率公式，求連續(xù)射擊5次，恰有3次擊中目標的概率；
（2）設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則X～B（5，$\frac{2}{5}$），利用二項分布的數(shù)學期望和方差公式，求連續(xù)射擊5次，擊中目標的次數(shù)X的數(shù)學期望和方差．
（3）設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，可得結論．

解答 解：（1）設“甲射擊5次，恰有3次擊中目標”為事件A，則P（A）=${C}_{5}^{3}•（\frac{2}{5}）^{3}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{144}{625}$．
答：甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率為$\frac{144}{625}$．
（2）X～B（5，$\frac{2}{5}$），E（X）=5×$\frac{2}{5}$=2；V（X）=5×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{10}{9}$$\frac{6}{5}$
（3）設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則P（C）=[1-$（\frac{3}{5}）^{2}$]$•\frac{2}{5}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{288}{3125}$．
答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為$\frac{288}{3125}$．

點評 本題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．