Question

設(shè)f(x)=

lnx-1

lnx+1

，若f（x₁）+f（ex₂）=1（其中x₁＞e，x₂＞e），則f（x₁x₂）的最小值為（　�。�

• A．

  5- 5

  4

• B．

  4

  5

• C．

  3

  5

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：令x₁=a，x₂=b其中a、b均大于e，由題意可依次推出

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

=

1

2

，[ln（ea）+ln（e² b）≥8，ln（ab）≥5．再由f（x₁x₂）=f（ab）
=1-

2

1+lnab

≥1-

2

1+5

=

2

3

，從而求得f（x₁x₂）的最小值．

解答：解：令x₁=a，x₂=b其中a、b均大于e，∵函數(shù)f（x）=

lnx-1

lnx+1

=1-

2

1+lnx

，f（a）+f（eb）=1，其中a＞e，b＞e．
∴f（a）+f（eb）=2-2（

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

）=1，∴

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

=

1

2

．
∵[ln（ea）+ln（e² b）]•（

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

）=2+

2ln(ea)

ln(e2b)

+

2ln(e 2b)

ln(ea)

+2≥4，∴[ln（ea）+ln（e² b）≥8，
∴l(xiāng)n（ab）≥5，∴f（x₁x₂）=f（ab）=1-

2

1+lnab

≥1-

2

1+5

=

2

3

，
故f（x₁x₂）的最小值為

2

3

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解題意，對(duì)題設(shè)中所給的條件進(jìn)行探究，逐步尋求它們與f（x₁x₂）的關(guān)系，判斷出最小值，本題為了研究的方便采取了給兩個(gè)變量進(jìn)行賦值的方法，運(yùn)算變形時(shí)少寫了符號(hào)簡(jiǎn)化了計(jì)算，本題變形靈活，技巧性高，題后應(yīng)好好總結(jié)，屬于中檔題．