Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，3]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)x=2是f（x）的一個極值點對應(yīng)x=2是導(dǎo)數(shù)為0的根即可求b的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（3分）
∵x=2是f（x）的一個極值點，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一個根，解得b=

3

2

．------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a，
則f′（x）=x²-3x+2．-------------------------------------------------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=1或x=2．----------------------------------------------------（8分）

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	5 6 +a	↓	2 3 +a	↑	3 2 +a

∵當(dāng)x∈（1，2）時f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，3）時f′（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x∈[1，3]時，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）與f（3）中的較大者．
∴函數(shù)f（x）的最大值為

3

2

+a．-----------------------------------------------------------（13分）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．