已知橢圓C:+=1.

(1)直線y=x+m與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的范圍;

(2)以橢圓C的焦點(diǎn)F1、F2為焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)直線x+y=9上一點(diǎn)P作橢圓C1,當(dāng)C1的長(zhǎng)軸最短時(shí),求C1的方程.

 

思路分析:橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程與代數(shù)、三角等內(nèi)容常常橫向綜合.在解題時(shí),應(yīng)根據(jù)橢圓的特征,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想,把曲線與方程和函數(shù)聯(lián)系起來(lái).

解:(1)直線y=x+m與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)的條件是方程組有兩組不同的解,

消去y得3x2+4mx+2m2-8=0.

∴Δ=16m2-12(2m2-8)＞0.

∴-2＜m＜2.

(2)依題意F1(-2,0)、F2(2,0),過(guò)F1作關(guān)于直線x+y=9的對(duì)稱點(diǎn)F1′(9,11),設(shè)P是直線x+y=9與橢圓C的公共點(diǎn).

∴2a=|PF1|+|PF2|=|PF1′|+|PF2|≥|F1′F2|=.

∴(2a)min=.

此時(shí)a2=,b2=a2-c2=.

故所求橢圓方程為=1.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和雙曲線C 2：
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ1，曲線C1都有相同的焦點(diǎn)；
②對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ1，曲線C1都有相同的離心率；
③對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ2，曲線C2都有相同的漸近線；
④對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ2，曲線C2都有相同的離心率．
其中正確的為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（07年陜西卷） (14分)

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求△面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：山東省濟(jì)南市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型：選擇題

（本小題滿分12分）

       已知橢圓C: +=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，-3）．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求橢圓以M（-1，2）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程．

 

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