Question

已知{a_n}是首項(xiàng)a₁=4的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），設(shè)T_n為數(shù)列{

1

(n+1)(bn-1)

}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)q=1時(shí)，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數(shù)列，當(dāng)q≠1時(shí)利用等比數(shù)列的求出公式建立等式求出q，從而求出數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n，代入

1

bnbn+1

=

1

n+1

-

1

n+2

，然后利用裂項(xiàng)求和法求出前n項(xiàng)和即可．

解答： 解 （ I）當(dāng)q=1時(shí)，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數(shù)列，
當(dāng)q≠1時(shí)，∵S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列，
∴2S₂=S₃+S₄，
∴2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

，
解得q=-2，
∴a_n=4×（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹．
（ II）b_n=log₂|a_n|=n+1，
∴

1

(n+1)(bn-1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．