Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（2）=0，若任給x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，則不等式x•f（x）＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得f（x）在定義域上是奇函數(shù)，則不等式x•f（x）＜0轉(zhuǎn)化為f（x）＞f（-2），f（x）＜f（2），解出即可．

解答： 解：當x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，0），
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，∴f（x₁ ）＞f（x₂），
當x₁＞x₂，x₁，x₂∈（-∞，0），
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，∴f（x₁ ）＜f（x₂），
又f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0），和在（0，+∞）上遞減，f（-2）=-f（2）=0，
對于不等式x•f（x）＜0，
當x＜0時，f（x）＞0，即f（x）＞f（-2），∴x＜-2，
當x＞0時，f（x）＜0，即f（x）＜f（2），∴x＞2，
∴不等式x•f（x）＜0的解集為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，本題屬于中檔題．