Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面平面PBC；

（2）設(shè)二面角的平面角為，試判斷在線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；

【解析】

（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)易知平面，從而，由三線合一易證，從而平面，即可由面面垂直的判定定理證明平面平面PBC；

（2）在平面內(nèi)過(guò)作交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并由題意設(shè)，表示出平面的法向量和平面的法向量.根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可由求得，結(jié)合空間向量夾角運(yùn)算求得的值，進(jìn)而確定的值.

（1）四邊形是正方形，

∴.

∵平面平面平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

∴.

又∵，

∴平面.

又∵平面，

∴平面平面.

（2）由（1）知平面，

∵，

∴平面.

在平面內(nèi)過(guò)作交于點(diǎn)，

∴，故，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，

以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，

，∴.

∵平面，則，，

又為的中點(diǎn)，，假設(shè)在線段上存在這樣的點(diǎn)，使得，設(shè)，，，

設(shè)平面的法向量為，則

∴，令，則

，則

平面，

平面的一個(gè)法向量，，則

∴.

，解得，

∴