Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點，|AF|+|BF|=4，

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

的最小值為0.5．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l：y=kx+m與橢圓E交于M，N兩點（其中5m+6k≠0），以線段MN為直徑的圓過E的右頂點，求證：直線l過定點．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的對稱性，根據(jù)過原點和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點，|AF|+|BF|=4，可求得a=2；利用正弦定理，結合

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

的最小值為0.5，可求得b=1，從而可求橢圓E的方程；
（II）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由題意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．
設交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)以線段MN為直徑的圓過E的右頂點可得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，從而有（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0，解得m=-2k，由此可證直線l過定點

解答：解：（I）設橢圓的左焦點為F′，由橢圓的對稱性，
因為|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

=

|AB|

|AF|+|BF|

=

x 2 1 + y 2 1

2

=

b2+ c2 x 2 1 a2

2

因為0≤x₁²≤a²，所以

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

≥

b

2

=

1

2

所以b=1
所以所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；…5分
（Ⅱ） 由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由題意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．（※）

設交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

 
因為以MN為直徑的圓過C（2，0），∴

CM

•

CN

=0
∵

CM

=（x₁-2，y₁），

CN

═（x₂-2，y₂），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（k x₁+m）（kx₂+m ）=0，整理得
5m²+16km+12k²=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
 故解得m=-2k．經(jīng)檢驗，滿足（※）式．
m=-2k時，直線方程為y=k（x-2），恒過定點（2，0）…12分

點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點問題，解題的關鍵是聯(lián)立方程組，利用韋達定理，合理轉化．