Question

10．已知三棱錐O-ABC，A、B、C三點均在球心為O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，則球O的體積是$\frac{256}{3}$π．

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點均在球心O的表面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
△ABC的外接圓的圓心為G，
∴OG⊥⊙G，
外接圓的半徑為：GA=$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC•OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴OG=$\sqrt{15}$，
球的半徑為：$\sqrt{1+15}$=4．
球的體積：$\frac{4}{3}$π•4³=$\frac{256}{3}$π．
故答案為：$\frac{256}{3}$π．

點評 本題考查球的體積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關系，考查空間想象能力以及計算能力．