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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD^底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．

（1）證明PA∥平面EDB；（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

答案：
解析：

本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想像能力和推理論證能力，

方法一：

（1）證明：連結AC，AC交BD于O．連結EO

∵ 底面ABCD是正方形，∴ 點O是AC的中點．

在DPAC中，EO是中位線．∴ PA∥EO

而EOÌ平面EDB且PAË平面EDB，所以，PA∥平面EDB．

（2）解：作EF^DC交CD于F，連結BF，設正方形ABCD的邊長為a．

∵ PD^底面ABCD ∴ PD^DC ∴ EF∥PD   F為DC的中點

∴ EF^底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角．

在RtDBCF中，

∵   ∴ 在RtDEFB中，

所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為．

方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點．設DC=a

（1）證明：連結AC，AC交BD于G．連結EG．依題意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E()

∵ 底面ABCD是正方形∴ G是此正方形的中心，故點G的坐標為()

∴ 這表明，PA∥EG

而EGÌ平面EDB且PAË平面EDB  ∴ PA∥平面EDB

（2）解：依題意得B(a，a，0)，C(0，a，0)取DC的中點F()，連結EF，BF

∵

∴  ∴ FE^FB，FE^DC

∴ FE^底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角．

在RtDEFB中，

∴ 所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為．


練習冊系列答案
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2
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