已知橢圓：
x2
5
+y2=1中，F(xiàn)1、F2分科技別為左、右焦點，過F2作橢圓的弦AB．
（1）求證：
1
|F2A|
+
1
|F2B|
為定值；
（2）求△F1AB面積的最大值．
分析：（1）由題意a2=5，b2=1，可得F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．若AB斜率存在，設直線AB：y=k（x-2）與橢圓方程聯(lián)立，進而可表示
1
|F2A|
+
1
|F2B|
，化簡可知為定值．當AB⊥x軸時，
1
|F2A|
+
1
|F2B|
=2
5
也成立，從而得證．
（2）設AB傾斜角為θ，進而可得S△F1AB=
4
5
sinθ
cos2θ+5sin2θ
=
4
5
sinθ
1+4sin2θ
．根據(jù)0＜θ＜π，可得sinθ＞0，從而可求△F1AB面積的最大值．
解答：（1）證明：∵a2=5，b2=1
∴F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）
若AB斜率存在，設直線AB：y=k（x-2）
由
y=k(x-2)
x2
5
+y2=1
⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：x1+x2=
20k2
5k2+1
．x1•x2=
5(4k2-1)
5k2+1

∵|F2A|=a-ex=
5
-
2
5
x1，|F2B|=
5
-
2
5
x2
∴
1
|F2A|
+
1
|F2B|
=
2
5
-
2
5
(x1+x2)
5-2(x1+x2)+
4
5
x1x2
=2
5
為定值．
當AB⊥x軸時，
1
|F2A|
+
1
|F2B|
=2
5
也成立．
∴
1
|F2A|
+
1
|F2B|
=定值．
（2）解：設AB傾斜角為θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2
5
-
2
5
(x1+x2)=
2
5
(1+k2)
5k2+1
=
2
5
cos2θ+5sin2θ

設F1到AB距離為d．則d=2•csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=
4
5
sinθ
cos2θ+5sin2θ
=
4
5
sinθ
1+4sin2θ
．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=
4
5
1
sinθ
+4sinθ
≤
5
．
當且僅當sinθ=
1
2
，即θ=30°或150°，△F1AB面積的最大值為
5
．
點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查面積最值的求解，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
5
+
y2
2
=1和圓C：x2+y2=4，且圓C與x軸交于A1，A2兩點．
（1）設橢圓C1的右焦點為F，點P的圓C上異于A1，A2的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明；
（2）設點M（x0，y0）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列五個命題，其中真命題的序號是
 
（寫出所有真命題的序號）．
（1）已知C：
x2
2-m
+
y2
m2-4
=1（m∈R），當m＜-2時C表示橢圓．
（2）在橢圓
x2
45
+
y2
20
=1上有一點P，F(xiàn)1、F2是橢圓的左，右焦點，△F1PF2為直角三角形則這樣的點P有8個．
（3）曲線
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m＜6)與曲線
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）漸近線方程為y=±
b
a
x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=1
（5）拋物線y=ax2的焦點坐標為(0，
1
4a
)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
5
+
y2
3
=1．
（1）在直線l：x-y+2=0上取一點P，過點P且以橢圓E的焦點為焦點的橢圓中，求長軸最短的橢圓C的方程；
（2）設P，Q，R，N都在橢圓C上，F(xiàn)為右焦點，已知
PF
∥
FQ
，
RF
∥
FN
且
PF
•
RF
=0，求四邊形PRQN面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=kx+1與橢圓
x2
5
+
y2
m
=1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）
A、m≥1
B、m≥1，或0＜m＜1
C、0＜m＜5，且m≠1
D、m≥1，且m≠5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列五個命題：
①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題．
②在平面內，F(xiàn)1、F2是定點，丨F1F2丨=6，動點M滿足丨MF1丨-丨MF2丨=4，則點M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5，則方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是橢圓”．
⑤已知向量
a
，
b
，
c
是空間的一個基底，則向量
a
+
b
，
a
-
b
，
c
也是空間的一個基底．
⑥橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為5．
其中真命題的序號是
①③⑤⑥
①③⑤⑥
．

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