Question

13．2017年春晚過后，為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度的關(guān)系，某網(wǎng)站對其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

上春晚次數(shù)x（單位：次）	2	4	6	8	10
粉絲數(shù)量y（單位：萬人）	10	20	40	80	100

（1）若該演員的粉絲數(shù)量g（x）≤g（1）=0與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程，試求回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并就此分析，該演員上春晚12次時的粉絲數(shù)量；
（2）若用$\frac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$（i=1，2，3，4，5）表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)時粉絲的“即時均值”（四舍五入，精確到整數(shù)），從這5個“即時均值”中任選2數(shù)，記所選的2數(shù)之和為隨機變量η，求η的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程，計算x=12時$\stackrel{∧}{y}$的方程即可；
（2）經(jīng)計算可知這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10，
得出η的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出η的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由題意可知，
計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（10+20+40+80+100）=50；
回歸系數(shù)為
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（2-6）•（10-50）+…+（10-6）•（100-50）}{{（2-6）}^{2}+…{+（10-6）}^{2}}$=12，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=50-12×6=-22，
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=12x-22；
當x=12時，$\stackrel{∧}{y}$=12×12-22=122，
所以該演員上春晚12次時的粉絲數(shù)約為122萬人；
（2）經(jīng)計算可知，這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10，
∴η的可能取值有10、12、15、17、20；
計算P（η=10）=$\frac{1}{10}$，P（η=12）=$\frac{1}{5}$，
P（η=15）=$\frac{2}{5}$，P（η=17）=$\frac{1}{5}$，
P（η=20）=$\frac{1}{10}$；
∴η的分布列為：

η	10	12	15	17	20
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴數(shù)學(xué)期望為E（η）=10×$\frac{1}{10}$+12×$\frac{1}{5}$+15×$\frac{2}{5}$+17×$\frac{1}{5}$+20×$\frac{1}{10}$=$\frac{74}{5}$．

點評 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，是中檔題．