Question

【題目】已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：
①x＞1時，f（x）＜0；
②f（ ）=1；
③對任意的正實數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（ ）=﹣f（x）；
（2）求證：f（x）在定義域內為減函數；
（3）求滿足不等式f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2的m集合．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令 ， ，得f（1）=0，

令 ， ，得

（2）證明：設x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1＞x2，∴ ，∴ ，即f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x）2，

∴f（x）在（0，+∞）上為減函數

（3）解：∵ ，∴ ．

f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2，f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥f（4），即f[（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）]≥f（4），

∵f（x）定義域上是減函數（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）≤4，

∴

∴ ，

不等式的解集

【解析】（1）令 ，可求得f（1）=0，再令 ，代入f（xy）=f（x）+f（y），即可證得：f（ ）=﹣f（x）；（2）設x1＞x2＞0，作差整理可得f（x1）﹣f（x2）= ，依題意，可得 ，利用單調減函數的定義可證f（x）在（0，+∞）上為減函數；（3）依題意，不等式f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2可化為f[（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）]≥f（4），再利用（2）f（x）在（0，+∞）上為減函數可得不等式組 ，解之即可．