Question

設(shè)函數(shù)（a≤2）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）證明：…對任意n∈N*都成立．

Answer 1

（I）解：f（x）的定義域為（0，+∞），（x＞0）
令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，…（1分）
①當a=2時，對任意x∈（0，+∞），f′（x）=，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a≤1時，，
∵-[（1-a）x+1]＜0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴x≥1時，f′（x）≤0，0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
③當1＜a＜2時，令f′（x）≤0可得，令f′（x）≥0可得0＜x≤1或x≥，
∴函數(shù)在（0，1]和[，+∞）上是增函數(shù)，在[1，）上是減函數(shù)；
（II）證明：（1）當n=1時，左邊-右邊=
不等式成立…（7分）
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）不等式成立，即…成立
那么，當n=k+1時，左邊=…+…（8分）
下面證明：
即證…（9分）
由（Ⅰ）知當a=2時，在（0，+∞）上單調(diào)遞增
則對任意k∈N^*，都有成立
即對任意k∈N^*，都有成立
因此n=k+1時成立
由（1）（2）及數(shù)學歸納法原理知
原不等式對任意n∈N^*都成立．…（12分）
分析：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)（x＞0），令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，分類討論，確定g（x）的正負，即可得到導函數(shù)的正負，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；
（II）利用數(shù)學歸納法證明，當n=k+1時，利用分析法進行證明．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查不等式的證明，考查數(shù)學歸納法與分析法的運用，綜合性強．