Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3：
（1）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x+b，當(dāng)a=3時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點(diǎn)的存在性定理列不等式組解出；
（2）求出f（x）在[5，8]上的值域和g（x）在[1，4]上的值域，根據(jù)題意得出兩值域的包含關(guān)系得出b的范圍．

解答 解：（1）f（x）的圖象對(duì)稱軸為x=2，開口向上，
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
△=16-4（a+3）=-4a+4，
若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，則f（-1）•f（1）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（8+a）a≤0}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得-8≤a≤0；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[5，8]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=5時(shí)，f（x）取得最小值11，當(dāng)x=8時(shí)，f（x）取得最大值38，
∴f（x）在[5，8]上的值域?yàn)閇11，38]；
又g（x）=x+b在[1，4]上單調(diào)遞增，∴g（x）在[1，4]上的值域?yàn)閇1+b，4+b]，
∵若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴[1+b，4+b]⊆[11，38]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{11≤1+b}\\{38≥4+b}\end{array}\right.$，解得10≤b≤34．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題及函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．