Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，則a的取值范圍是

（1，e

1

e

）

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）的圖象與y=x的圖象有兩個不同的公共點，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)，求最大值，然后求解即可得出符合題意的a的取值范圍．

解答：解：f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，
那么y=f（x）與y=x的圖象有兩個交點
即方程f（x）-x=0有兩個不相等的實數(shù)根．
設(shè)g（x）=f（x）-x=a^x-x
則g'（x）=a^xlna-1
令g'（x）=0 得 a^x=

1

lna

＞0，說明a＞1
所以x=log a(

1

lna

)=-log a(lna)
所以當x=-log_a（lna）時，g（x）取得最小值a-ln a(lna)+log a(lna)
由a-ln a(lna)+log a(lna)＜0 得
1＜a＜e

1

e

故答案為：（1，e

1

e

）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，屬于難題．利用構(gòu)造，研究一個新的函數(shù)零點的問題，此法是高中數(shù)學解題的一大難點．