Question

已知f（x）=3^x-3^|x|，若3^tf（2t）-mf（t）≥0對于t∈[-2，-1]恒成立，則m∈

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由已知得f（x）=3^x-3^|x|在（-∞，0）上單調(diào)遞增，f（t）=3^t-3^-t＜0，m≤-3^2t-1，令g（t）=-3^2t-1，則g（t）在[-2，-1]上遞減，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵y=3^x在（-∞，0）上單調(diào)遞增，y=3^|x|在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=3^x-3^|x|在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∵t∈[-2，-1]，∴f（t）=3^t-3^-t＜0，
∴3^tf（2t）-mf（t）≥0化為：
3^t（3^2t-3^-2t）+m（3^t-3^-t）≥0，
即3^t（3^t+3^-t）+m≤0，即m≤-3^2t-1，
令g（t）=-3^2t-1，則g（t）在[-2，-1]上遞減，
∴g（x）_mim=g（-1）=-3^-2-1=-

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，
∴m≤g（x）_min=-

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9

∴所求實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

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]．
故答案為：（-∞，-

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9

]．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．