Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=na_n-n²，求數(shù)列 {b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設{a_n}的前n項和為S_n，證明：不等式T_n+1≤4T_n對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*
又a₁-1=1≠0
∴…（3分）
∴數(shù)列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列
∴a_n-n=4^n-1即a_n=4^n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n（a_n-n）=n•4^n-1…（5分）
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+…n•4^n-1…①
4S_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ…②…（6分）
由①-②得：-3S_n=1+4+4²+…4^n-1-n•4ⁿ…（7分）
=…（8分）
∴=…（9分）

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n
∴數(shù)列{a_n}的前n項和=
=…（11分）
∴對于任意的n∈N*，
…（12分）
==…（13分）
即T_n+1≤4T_n對于?n∈N*成立…（14分）
分析：（Ⅰ）把題設整理成a_n+1-（n+1）=4（a_n-n）的樣式進而可知 為常數(shù)，判定數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首項和公比可求得{a_n-n}的通項公式，進而根據(jù)題設求得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而根據(jù)錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（Ⅲ）由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n，從而可得數(shù)列{a_n}的前n項和
=，再利用作差法化簡T_n+1-4T_n即可．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的判定和數(shù)列的求和問題．當數(shù)列是由等比和等差數(shù)列構成時，常可用錯位相減法求的數(shù)列的前n項和．應注意掌握作差法在證明不等式中的運用．