Question

已知△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同側(cè)，CE=CA=2BD=2．
（1）求證平面CAE⊥平面DAE；
（2）求：點(diǎn)B到平面ADE的距離．

Answer 1

解：（1）證明：取AC中點(diǎn)M，取AE中點(diǎn)N，連接MN、MB，DN，
∵N是EA的中點(diǎn)，
∴MN=EC．由BD=EC，且BD⊥平面ABC，
可得四邊形MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∴DN⊥AC
∵CE=CA=2BD=2
∴可得DE=DA，N是EA的中點(diǎn)，
∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）：設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為h
∵△ABC為正三角形
∴C到AB的距離d=，由BD⊥平面ABC可得C到AB的距離即為C到面ABD的距離，
∵V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB．
∴××DN•AE•h=×S_△ABD•d．
∴h=====．
分析：（1）由于N是EA的中點(diǎn)，容易得到DN∥BM，而B(niǎo)M⊥平面ECA，從而得證；
（2）直接根據(jù)V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB，列出關(guān)于點(diǎn)B到平面ADE的距離的等式，即可求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中平面與平面垂直的問(wèn)題，面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直解決，同時(shí)注意使用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理．