Question

已知數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，且各項(xiàng)非負(fù)，對(duì)于正整數(shù)K，若任意的i，j(1≤i≤j≤K)，a_j－a_i仍是{a_n}中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{a_n}為“K項(xiàng)可減數(shù)列”．

(1)已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，且數(shù)列{b_n－2}是“K項(xiàng)可減數(shù)列”，試確定K的最大值．

(2)求證：若數(shù)列{a_n}是“K項(xiàng)可減數(shù)列”，則其前n項(xiàng)的和．

(3)已知{a_n}是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，寫出⑵的逆命題，判斷該逆命題的真假，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)，則，易得 　　，即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列”，但因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0158/0020/260af525399d2fbdb522e1a357de01c6/C/Image177.gif" width=150 height=24> 　　，所以的最大值為2． 　　(2)因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”，所以必定是數(shù)列中的項(xiàng)，而是遞增數(shù)列，故，所以必有 　　，，則 　　， 　　所以，即． 　　又由定義知，數(shù)列也是“項(xiàng)可減數(shù)列”， 　　所以 　　(3)(2)的逆命題為：已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，若其前項(xiàng)的和滿足，則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”，該逆命題為真命題． 　　理由如下：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0158/0020/260af525399d2fbdb522e1a357de01c6/C/Image198.gif" width=74 height=41>≤≤，所以當(dāng)≥時(shí)，，兩式相減，得，即≥　() 　　則當(dāng)≥3時(shí)，有() 　　由()－()，得≥，又，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增等差數(shù)列． 　　設(shè)公差為，則，對(duì)于任意的≤≤≤，，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0158/0020/260af525399d2fbdb522e1a357de01c6/C/Image225.gif" width=9 height=17>≤≤，所以仍是中的項(xiàng)，故數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”．