Question

9．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$．
（1）求sinx的值；
（2）求$\frac{1+sin2x-cos2x}{1+sin2x+cos2x}$的值．

Answer 1

分析 （1））$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$⇒$\frac{5π}{3}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，結合已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，可求得sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，利用兩角差的正弦sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]即可求得sinx的值；
（2）同理可求cosx=cos[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，繼而可得tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=7，利用二倍角公式化簡所求關系式為tanx，即可求得其值．

解答 解：（1）∵$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，
∴$\frac{5π}{3}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
又cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-{cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$；
（2）∵cosx=cos[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=7，
∴$\frac{1+sin2x-cos2x}{1+sin2x+cos2x}$=$\frac{2sinxcosx+2{sin}^{2}x}{2sinxcosx+2{cos}^{2}x}$=$\frac{2sinx（sinx+cosx）}{2cosx（sinx+cosx）}$=tanx=7．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查三角函數(shù)間的關系式與二倍角公式、兩角差的正弦與余弦公式的應用，靈活“拼湊”角是關鍵，也是答題亮點，屬于中檔題．