Question

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓左準(zhǔn)線與x軸交于E（-4，0），過E點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A、B兩個不同的點(diǎn)（A在E，B之間）
（1）求橢圓方程；   （2）求△AOB面積的最大值； （3）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為
F₁、F₂，若有

F1A

=λ

F2B

，求實數(shù)λ，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，結(jié)合a²=b²+c²可求a，b，c，從而可求橢圓的方程
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設(shè)直線l：x=my-4，聯(lián)立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*），由△＞0可得|m|＞2=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)，原點(diǎn)O到直線l的距離d=

4

1+m2

，從而可求三角形的面積，利用基本不等式 可求面積的最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂，根據(jù)平行線分線段成比例可求

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0，c²=a²-b²）
∵e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4
∴a=2，b²=3
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設(shè)直線l：x=my-4
聯(lián)立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*）
由△＞0可得|m|＞2|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)
原點(diǎn)O到直線l的距離d=

4

1+m2

所以△AOB的面積S=

24 m2-4

3m2+4

，令t=

m2-4

＞0，m²=t²+4
則s=

24t

3t2+16

=

24

3t+ 16 t

≤

24

8 3

=

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

4 3

3

即m2=

28

3

時取得最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂
∴

AF1

BF2

=

EF1

EF2

=

4-1

4+1

=

3

5

實數(shù)λ=

3

5

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的考查，注意利用基本不等式求解最大值的應(yīng)用．